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By Eben Matlis

ISBN-10: 0387063277

ISBN-13: 9780387063270

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Da |R| nicht gleichzeitig gerade und ungerade sein kann, zeigt dieser Widerspruch, dass unsere Annahme, dass es keinen Sieger gibt, falsch war. Das Schubfachprinzip. Verteilt man n Elemente auf m Fächer, wobei n > m ist, so gibt es mindestens ein Fach, das zwei Elemente enthält. Diese sofort einleuchtende Tatsache wird als Schubfachprinzip (engl. pigeonhole principle) bezeichnet. 11 (Schubfachprinzip) Ist f : X → Y eine Abbildung und gilt |X| > |Y |, so gibt es ein y ∈ Y mit |f −1 (y)| ≥ 2. 12 In jeder Menge von 13 Personen befinden sich zwei, die im selben Monat Geburtstag haben.

Bei der Summenregel haben wir verlangt, dass die Menge S, deren Elemente wir zählen wollen, eine Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen ist. Das Prinzip der Inklusion und Exklusion erlaubt es uns, die Kardinalität einer Menge zu bestimmen, die eine (endliche) Vereinigung von beliebigen endlichen Mengen ist. Betrachten wir zunächst zwei Beispiele: Für zwei Mengen A und B gilt für die Kardinalität der Vereinigung |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Man addiert also zunächst die Kardinalitäten der beiden Mengen und zieht dann die Anzahl derjenigen Elemente ab, die in beiden Mengen enthalten sind.

Vergleichen wir die Werte für Tn mit denen für Cn für kleine Werte von n, so liegt die Vermutung nahe, dass Tn = Cn−2 gelten könnte. In der Tat zeigen unsere Beispiele, dass dies für n = 2, 3, 4 und 5 richtig ist. 30 sofort per Induktion ein, dass sie für alle n ≥ 2 richtig ist. Betrachten wir nun noch die Binärbäume. Auch hier lässt sich eine Rekursionsformel einfach herleiten. 32 Für die Anzahl B n der Binärbäume auf n Knoten gilt: n B0 = 1 und für n ≥ 1, Bn = Bk−1 Bn−k . k=1 Beweis: Die Menge aller Binärbäume auf n Knoten teilen wir in n Klassen Ak auf, k = 1, .

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1-Dimensional Cohen-Macaulay Rings by Eben Matlis


by Robert
4.0

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